miércoles, 31 de octubre de 2012


CADENAS DE MÁRKOV




ORIGEN
El análisis de Markov, llamado así por los estudios realizados por el rusoAndréi Andréyevich Márkov  entre 1906 y 1907, sobre la secuencia de los experimentos conectados en cadena y la necesidad de descubrir matemáticamente los fenómenos físicos. La teoría de Markov se desarrolló en las décadas de 1930 y 1940 por A.N.Kolmagoron, W.Feller, W.Doeblin, P.Levy, J.L.Doob y otros.



BIOGRAFIA: ANDREI MÁRKOV
Matemático ruso nació el 14 de junio de 1856 en Riazán, Rusia y murió el 20 de julio de 1922. Antes de los 10 años su padre, un funcionario estatal, fue trasladado a San Petersburgo donde Andréi entró a estudiar en un instituto de la ciudad. Desde el principio mostró cierto talento para las matemáticas y cuando se graduó en 1874 ya conocía a varios matemáticos de la universidad de San Petersburgo ingresó tras su graduación.

En la Universidad fue discípulo de Chebyshov tras realizar sus tesis de maestría y doctorado, en 1886 accedió como adjunto a la Academia de Ciencias de San Petersburgo a propuesta del propio Chebyshov. Diez años después Márkov había ganado el puesto de académico regular. Desde 1880, tras defender su tesis de maestría, Márkov impartió clases en la universidad y, cuando el propio Chebyshov dejó la Universidad tres años después, fue Márkov quien le sustituyó en los cursos de teoría de la probabilidad. En 1905, tras 25 años de actividad académica, Márkov se retiró definitivamente de la Universidad, aunque siguió impartiendo algunos cursos sobre teoría de la probabilidad.

A parte de su perfil académico, Andréi Márkov fue un convencido activista político. Se opuso a los privilegios de la nobleza zarista y llegó a rechazar las condecoraciones del propio zar en protesta por algunas decisiones políticas relacionadas con la Academia de Ciencias. Hasta tal punto llegó su implicación en la política que llegó a ser conocido con el sobrenombre de "el académico militante".

Márkov arrastró durante toda su vida problemas relacionados con una malformación congénita en la rodilla que le llevaría varias veces al quirófano y que, con el tiempo, fue la causa de su muerte cuando el 20 de julio del año 1922 una de las muchas operaciones a las que se sometió le produjo una infección generalizada de la que no pudo recuperarse.

Aunque Márkov influyó sobre diversos campos de las matemáticas, por ejemplo en sus trabajos sobre fracciones continuas, la historia le recordará principalmente por sus resultados relacionados con la teoría de la probabilidad. En 1887 completó la prueba que permitía generalizar el teorema central del límite y que ya había avanzado Chebyshov.

Su trabajo teórico en el campo de los procesos en los que están involucrados componentes aleatorios (procesos estocásticos) darían fruto en un instrumento matemático que actualmente se conoce como cadena de Márkov: secuencias de valores de una variable aleatoria en las que el valor de la variable en el futuro depende del valor de la variable en el presente, pero es independiente de la historia de dicha variable. Las cadenas de Márkov, hoy en día, se consideran una herramienta esencial en disciplinas como la economía, la ingeniería, la investigación y muchas otras.

mi ejercicio


21. Un jugador tiene 3.000 euros. Apuesta en cada jugada 1.000 euros con probabilidad de ganar
1/2. El juego termina cuando queda sin dinero o dobla la cantidad inicial. Calcúlese:
a) Probabilidad de estar a cero después de 5 jugadas.
b) Probabilidad de que el juego dure más de 7 jugadas.
c) El número medio de apuestas que hará en el juego.
d) ¿Qué es más probable, que pierda todo o doble el dinero?


ejercicios de markov



miércoles, 3 de octubre de 2012

TEORIA DE LOS JUEGOS:
Ejemplo:


BIOGRAFIA DE JHON FORBES NASH:

Economista y matemático estadounidense. Extraordinariamente dotado para el análisis matemático, Nash desarrolló investigaciones en torno a la teoría de juegos, que le valieron el Premio Nobel de Economía en 1994, junto a John Harsanyi y Reinhard Selten.
Ingresó en el Carnegie Institute of Technology, en la actualidad Universidad Carnegie-Mellon de Pittsburgh, con la intención de estudiar Ingeniería química; pero tras cursar algunas asignaturas de Matemáticas, aceptó la sugerencia de sus profesores de orientar su carrera hacia esta materia. En 1948 obtuvo el grado de licenciado en Matemáticas y, tras recibir varias ofertas para realizar el doctorado, se decidió por la Universidad de Princeton.

A lo largo de sus estudios doctorales, mostró interés por diversos campos de estudio, como la topología, el álgebra geométrica o la teoría de juegos. En 1949 y como parte de sus investigaciones publicó en la revista Annals of Mathematics un artículo titulado "Non-cooperative Games", en el que se recogían las ideas principales de su tesis, que presentó el siguiente año en Princeton. En dicho artículo se exponían los puntos básicos sobre las estrategias y las posibilidades de predicción del comportamiento que se da en juegos no cooperativos con información incompleta.
Una vez finalizada su tesis, trabajó durante unos meses para la Corporación RAND, que estaba muy interesada en sus conocimientos de la teoría de juegos para aplicarlos a la estrategia militar y diplomática. Volvió a la Universidad de Princeton poco después, lo que no resultó impedimento para que colaborara de forma esporádica con la Corporación RAND. En 1952 se incorporó al cuerpo docente del prestigioso Massachusetts Institute of Technology (MIT), donde realizó una importante labor de investigación sobre variables algebraicas reales múltiples.



PRACTICA NUMERO 1.

ARBOLES DE DECISIONES
PROBLEMA 1:El gerente de producto de una fábrica de calzado, está planeando las decisiones de producción para la línea veraniega del próximo año.  Su principal preocupación es estimar las ventas de un nuevo diseño de sandalias.  Estas han planteado problemas en años anteriores por dos razones: la estación limitada de venta no proporciona suficiente tiempo para que la empresa produzca una segunda serie de un artículo popular.  Los estilos cambian drásticamente año con año y las sandalias que no se venden pierden todo su valor.  El gerente de producto ha discutido el nuevo diseño con los vendedores y formuló las siguientes estimaciones de demanda:
DEMANDA
X0000
Y0000
Z0000
  La información obtenida del departamento de producción revela que la capacidad de producción a evaluar será de:
Alternativa 1: (60+x) 000  pares
Alternativa 2: (70+y) 000  pares
Alternativa 3: (80+z) 000  pares
Que un par de sandalias costará $15 y el departamento de mercadeo ha informado al gerente que el precio al mayoreo será de $50 por sandalia. El costo de inventario mensual es de $5, si al final de marzo sobran sandalias estas se rematan a $30. El costo de escasez es de $10 si no se cubre en el mes solicitado.
 (a) ¿Cuál es la decisión óptima si se usa el criterio de Laplace ?
 (b) ¿Cuál es  la decisión óptima si se usa el criterio maximin ? 
 (c) ¿Cuál es la decisión óptima si se usa el criterio maximax ?
 (d) Construya la tabla de distribución en la que los datos sean los perjuicios
 (e) ¿Cuál es la decisión óptima si se usa el criterio minimax de perjuicios?
 (f) Si se tiene la Probabilidad  0.50  0.30     0.20.  Hallar el valor esperado. 
 (g) Elaborar el árbol de decisiones 






PROBLEMA 2
Una empresa de transporte está evaluando la compra de una flota a camiones tipo A o camiones tipo B.
Las posibilidades que salgan bien los camiones es de 45%, si se adquieren los camiones tipo A se tendrá como ingreso ($4+X)000 pero si los camiones salen mal solo se recogerá ($1+X)000. Si en cambio se adquieren los camiones tipo B se gana ($3+y)000 si salen bien y solo $(1+z)000 si salen mal.
Para mejorar su decisión desea contratar a un mecánico  para evaluar los dos tipos de camiones, sabido es que cuando el mecánico dice que están bien los camiones acierta en un (30+y)%  pero cuando dicen que no está bien aciertan en un (10+z)%. ¿Qué debe hacer la empresa, contratar o no al mecánico?. Graficar árbol (10 puntos) y hallar VEIM.( 2 puntos)
¿Cuanto se puede pagar al mecánico?  







ARBOLES MÚLTIPLES.

Ejemplo:

Erica va a volar a Londres el 5 de agosto y regresa a casa el 20 del mismo mes. Estamos a 1 de Julio y ella podría comprar hoy un boleto de viaje sencillo por $350 o un boleto de viaje redondo por $660. Ella también podría esperar hasta el 1 de Agosto para comprar un boleto.
 El primero de Agosto un boleto sencillo costara $370 y uno de viaje redondo costara $730. Es posible que entre el primero de Julio y el primero de Agosto, su hermana (quien trabaja para una aerolínea) pueda obtener un boleto sencillo gratis para Erica. La probabilidad de que su hermana obtenga el boleto gratis es de 0.30. Si Erica compra un boleto de viaje redondo el primero de Julio y su hermana obtiene un boleto gratis, ella puede devolver la mitad de su viaje redondo a la aerolínea. En este caso el costo total del boleto será $330 más una pequeña penalización de $50.Utilice un árbol de decisión para determinar cómo maximizar el costo esperado de Erica de obtener transporte de viaje redondo a Londres.


HERRAMIENTAS PARAR LA TOMA DE DECISIONES

ÁRBOL DE EXPANSIÓN
Ejemplo: